数学专接本

(一章)函数,极限

 函数

  求定义域

   1.分母不为零

   2偶次根号下大于等于零

   3对数中真数大于零

   4三角函数与反三角函数

   5非零数的零次幂为1

  判断两个函数相同

   定义域(不化简)

   对应法则先化简

  函数的表达形式

   显函数

   隐函数

   分段函数

   参数函数

  函数的性质

   有界性

    有界 ± 有界=有界

    有界 ± 无界=无界

    有界 x 有界=有界

   单调性

    当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则称f(x)在(a,b)上单调增。 即f(x)′>0

    当x1<x2时,有f(x1)>f(x2),则称f(x)在(a,b)上单调减。 即f(x)′<0

   奇偶性

    定义法:

     若f(-x)=f(x)则f(x)为偶函数

     若f(-x)=-f(x)则f(x)为奇函数

    图像法:

     图像关于y轴对称为偶函数

     图像关于原点对称为奇函数

    对数专用法:

     若f(-x)=f(x)=>f(-x)-f(x)=0,则f(x)为偶函数

     若f(-x)=f(x)=>f(-x)+f(x)=0,则f(x)为奇函数

     ㏑a+㏑b=㏑ab ㏑a-㏑b=㏑a/b ㏑1=0

(若f(-x)=f(x)=>f(-x)-f(x)=0,则f(x)为偶函数, 若f(-x)=f(x)=>f(-x)+f(x)=0,则f(x)为奇函数)

    四则运算:

     奇 x 奇 = 偶

     奇 x 偶 = 奇

     偶 x 偶 = 偶

     奇 + 奇= 奇

     偶 + 偶 = 偶

     奇 + 偶 = 不确定

  反函数性质

   单调性相同

   图像关于y=x对称

   定义域 值域互换

   若f(x)与g(x)互为反函数,则f[g(x)]=x, g[f(x)]=x

  基本初等函数

   函数图像

    初等函数图像

    初等函数图像 2

    反三角函数图像1

    反三角函数图像2

   三角函数公式

    

 极限

  抓大头

   ∞/∞型专用

   

  极限存在的充要条件

   左右极限存在且相等

  未定式

   0/0 ,∞/∞ ,0 ▪ ∞ ,∞-∞

  以下函数求极限分左右:求分段点处的极限

   arctan∞

   arccot∞

   e的无穷次幂 ▪ (a的无穷次幂)

  极限的四则运算

   若limf(x)=A,limg(x)=B 则 limf(x)±limg(x)=A±B limf(x)▪limg(x)=A▪B limf(x)/g(x)=A/B limkf(x)=kA

  无穷小量的性质:

   有限个无穷小量之和仍未无穷小量

   有限个无穷小量之积仍未无穷小量

   无穷小量 x 有界变量=无穷小量 例:无穷小 x cos∞=0, 无穷小 x sin∞=0

  无穷小量阶的比较

   方法:相除求极限

   设a,b是同一变化过程中的无穷小量

    lima/b=

     0,a是b的高阶无穷小

     ∞,a是b的低阶无穷小

     k, a是b的同阶无穷小

     1, a是b的等价无穷小

  等价无穷小代换公式

   

  两个重要极限(第二重要极限)

   

 极限的应用

  口诀:连续不一定可导,不连续一定不可导,可导一定连续(雪姨炸学校)

  可导的条件:

   f(x)在x0处有定义

   x->x0时极限存在

   左极限=右极限

   三者缺一不可

(f(x)在x0处有定义, x->x0时极限存在, 左极限=右极限)

  间断点

   判定间断点

    1.求定义域

    2.定义域内x≠谁 谁就是间断点

   间断点的分类

    左右极限都存在:第一类间断点

     左=右, 可去间断点

     左≠右, 跳跃间断点

    左右极限至少有一个不存在:第二类间断点

(二章)一元函数微分学

 导数与微分

  导数的定义

   第一定义式和推广式

   第二定义式

  导数存在的充要条件:

   左右导存在且相等

  导数与连续的结论:

   1.连续不一定可导,不连续一定不可导,可导一定连续(雪姨炸学校)

   2.一般分式(分母为零的点)不连续,绝对值(绝对值为零的点)不可导

   特别的:y=(x-x0)|x-x0|在x=x0处可导

  导数与微分关系

   dy=f′(x)dx ,dy就是微分

  求导公式

   

  高阶求导

   

  隐函数求导

   方法:左右同导法

   步骤:

    1.左右两边同时对x求导(把y看成含x的函数)

    2.解出y′ (y'中可以含y)

  参数求导

   

  幂指型函数\连乘式求导

   方法:运用对数求导

   步骤:

    1.两边同时求ln

    2.左右两边同时求导,把y看成含有x的函数

    3.解出y'

  分段函数求导

   各段内

    直接求导

   分段点

    利用导数第二定义式讨论左右导

 微分中值定理

  罗尔定理

  拉格朗日中值定理

 洛必达法则

  思路:化简、等代、洛必达

  幂指型函数求极限:

   

 导数的应用

  f(x)'>0,f(x)单调增 f(x)'<0,f(x)单调减 f(x)'=0为拐点也称驻点

  x0为驻点则 : f(x0)''>0 ,f(x0)为极小值 f(x0)''<0 ,f(x0)为极大值

  f(x)''>0,则函数凹 f(x)''<0,则函数凸 (大凹小凸,0为拐点)

 渐近线

  水平渐近线:limx->a f(x)=∞

  垂直渐近线:limx->∞ f(x)=a

(三章)一元函数积分学

 不定积分

  不定积分公式

   

  计算方法

   1.直接积分法(直接按积分公式计算)

   2.凑微分(第一类换元法)(直接凑成积分公式的样式)

    常数凑微分:∫f(ax+b)dx=1/a∫f(ax+b)d(ax+b)

    对数函数凑微分:∫f(lnx)*1/xdx=∫f(lnx)d(lnx)

    指数函数凑微分

    幂函数凑微分

    三角函数凑微分

    反三角函数凑微分

    1.d后面加减任意常数不影响他的结果 2.d后面乘谁,积分符号前面除谁 3.d前的式子放d后找其原函数 4.d后的式子放d前找其导数

(常数凑微分:∫f(ax+b)dx=1/a∫f(ax+b)d(ax+b), 对数函数凑微分:∫f(lnx)*1/xdx=∫f(lnx)d(lnx), 指数函数凑微分, 幂函数凑微分, 三角函数凑微分, 反三角函数凑微分)

   3.换元法(第二类换元法)

    引入t的换元 ,注:根号里为x的一次幂的时候适用换元法

    三角代换,注:根号下出现x²时适用

     还原的依据

   4.分部积分法

    公式:∫udv=uv-∫vdu

    谁先积到后面的顺序:三指幂对反

    被积函数只有对数或反三角函数时(如:lnx,arctanx)也用分部积分法

   5.简单有理数求不定积分

    子主题 1

    子主题 2

 定积分

  计算方法

   1.牛莱公式

   2.定积分的换元法(换元必换限)

   3.定积分的分部积分法

   4.分段函数求积分:各段积分再相加

   5.无穷区间上的反常积分

  定积分的几何意义及性质

   1.定积分表示y=f(x)),x=a,x=b,x轴围城图形的面积

   2.对称区间奇偶性的定积分:奇零偶倍

   3.定积分的性质

   变限积分

  定积分的应用

   1.求封闭图形的面积

    基于x轴则对x积分

    基于y轴则对y轴积分

   2.定积分求旋转体的体积

   3.求变速运动的路程

(四章)向量

 向量的概念:

  

 向量的计算:

  线性运算

  数量积(点乘)

  向量积(叉乘)

 平面与直线

  平面方程

   1.点法式:

   一般式

   截距式

  两平面的位置关系

 直线方程及其位置关系

  直线方程

   点向式

   参数式

   一般式

  两直线位置关系

  直线和平面位置关系

  距离公式

 空间曲线

参见:

(五章)多元函数微分学

 二元偏导数与全微分

  基础知识(了解)

   概念:z=f(x,y)=>函数研究空间上的曲面

   二元函数的定义域表示方法:描述法:

    {元素|元素的特征} 例:{(x,y)| y²-2x+1>0 }

   例题:

    

  二元偏导数

   定义:

    

   计算:

    对一个数求偏导,把另一个当成常数

  全微分(公式)

   

 二阶偏导数

  

  注意:若二阶混合偏导数连续,则∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x

 二元隐函数的偏导数与全微分

  一元隐函数

   

  二元隐函数

   公式

    

   如果一阶导的结果含有z,则求二阶导要把z看成含x或者y的复合函数

  链式法则

   公式

    

   例题

    秋季P120

  二元函数的无条件极值

   

   例题:

    

  二元函数的有条件极值

   

  多元函数的几何应用

   

参见: 空间曲线

(六章)二重积分

 直角坐标系下的二重积分

  二重积分的计算

   

  计算步骤

   1.画出积分区域D 2.二重化二次 先积分的放后面,后积分的先定限 D内画条线,先穿为下限,后穿为上限 (先对y积向上画,先对x向右画)

  交换积分次序

   步骤:1.先画出图像(根据积分的上下限画) 2.后积先定限 3.先积的D内画条线,先穿为下限,后穿为上限 (积y上下线则写为x=...y,积x上下线则写为y=...x)

 极坐标下的二重积分

  极坐标与直角坐标的关系

   

  什么情况使用极坐标做题

   1.积分区域与园有关 2.被积函数中含有(X²+Y²)或者 根号下(X²+Y²)

  计算步骤

   

  曲顶柱体的体积(了解)

   V=∬f(x,y)dσ (dσ=>rdrdθ)

   例题

    

 对坐标的曲线积分(秋季课本126)

  

  对坐标的曲线积分2.jpg

 格林公式

  公式

  

(七章)无穷级数

 数项的敛散性判定

  lim n->∞ Sn

  极限存在:收敛

  极限不存在:发散

  绝对收敛

   级数收敛并且加上绝对值后仍收敛

  条件收敛

   级数收敛但加上绝对值后不收敛

  常见的级数敛散性

   

 无穷级数的基本性质

  

 审敛方法

  1.一般比较法

   大敛则小敛,小散则大散

  2.比较法

   

  3.比值审敛法

   n! ,aⁿ ,nⁿ 时适用

  4.交错级数的收敛

   

 幂级数

  

  求和函数

   公式

   例题

  展开幂级数

   公式

   例题

(八章)常微分方程

 一阶常微分方程

  公式和例题

  一阶线性微分方程

   公式

   例题

 二阶线性微分方程

  齐次微分方程

   标准形式

    y''+py'+qy=0

   解法:

    

  非齐次微分方程

   标准形式

    y''+py'+qy=f(x)

   通解结构

    y=Y+y* 即:通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解

   解法

    类型1

    类型2

   例题

    类型1

     

     

    类型2

     

弱项

 对坐标的曲线积分

  根据公式带入即可(根据题中给的式子将X带入,或将Y带入)

 二阶偏导有点混(已差不多)

  一阶导需要写引入虚拟导数fu,fv 二阶导数注意fu,fv的二次求导遵循链式法则 (即:fu′v' , fu'u') 隐函数二次求导要把z看成含x或y的式子

  

 幂级数的展开和求和

  数学笔记本上有题,主要是记住公式

 线性相关

  齐次只有零解线性无关

  线性相关线性无关的判定.png

  能否线性表示

   齐次有非零解则能线性表示

  最大无关组

   将行列式化成行最简形式

(九章)线性代数

 代数余子式

  公式

  展开定理:

   行列式任何一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和等于行列式的值

  零值定理:

   行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)对应的代数余子式乘积的和等于0

 行列式的性质

  1.D的转置与D的值相同

  2、互换行列式的两行(或两列),行列式变号 (推论:两行(或两列)完全相同的行列式值为零)

  3、某一行(或列)的公因子可以提到行列式外边来 (推论:某行(或列)全为零的行列式值为零) (推论2:某行(或列)成比例的行列式值为零)

  4、若行列式中某一行(或列)的元素都是两项之和,则该行列式可以按此行(或列)分拆成两个行列式之和

  5、将行列式某一行(或列)每个元素的常数倍加到另一个行(或列)相应的元素上去,其值不变

  1、转置相等 2、对换变号 3、加减可拆 4、系数可提 5、倍加相等 6、3个零(一行为零,两行相同或者成比例)

(1.D的转置与D的值相同, 2、互换行列式的两行(或两列),行列式变号 (推论:两行(或两列)完全相同的行列式值为零), 3、某一行(或列)的公因子可以提到行列式外边来 (推论:某行(或列)全为零的行列式值为零) (推论2:某行(或列)成比例的行列式值为零), 4、若行列式中某一行(或列)的元素都是两项之和,则该行列式可以按此行(或列)分拆成两个行列式之和, 5、将行列式某一行(或列)每个元素的常数倍加到另一个行(或列)相应的元素上去,其值不变)

 克莱姆法则(非齐次线性方程组&齐次线性方程组)

  克莱姆法则1.jpg

  齐次方程组:求解结果

   齐次方程组只有零解<=>D≠0 齐次方程组有非零解<=>D=0

   

 矩阵

  矩阵的四则运算

   矩阵的四则运算.jpg

   矩阵的乘法.jpg

  矩阵的转置 性质:

   

  方阵的性质

   

  伴随矩阵

   性质

   口诀:横求竖排 主对换,负变号

  逆矩阵

   逆矩阵定理1.jpg

   性质

    逆矩阵的性质.jpg